상트페테르부르크의 역설 (St. Petersburg paradox)

 샹트페테르부르크의 역설은 의사결정 상황에 놓인 사람들이 기댓값에 대해 가지는 가치와 실제 수학적 가치 사이에 나타나는 괴리에 대해 보여주는 문제이다.

Example

 쉬운 예시를 가지고 이해를 해보도록 하자. 앞면과 뒷면만이 존재하는 동전을 던져, n번째에 최초로 앞면이 나오면 $\text{\char36} 2^n$을 받고, 뒷면이 나오면 한번 더 던질 수 있다.

 1번째에 최초로 앞면이 나오면 $\text{\char36} 2^1$, 2번째에 최초로 앞면이 나오면 $\text{\char36} 2^2$,... 이런 식으로 돈을 받는 것이다. 이 상황에서 게임 참가자는 어느 금액의 참기 비용까지 지불할 의향이 있을까? 대부분의 사람들은 기댓값보다 참가비용이 작거나 같은 수준까지라고 생각을 하겠지만 현실에서는 그렇지 않다.

 n번째에 최초로 앞면이 나올 확률은 $\frac{1}{2^n}$임을 알 수 있고, 기댓값을 구해보면

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} 2^n = \frac{1}{2^1} \cdot 2^1 + \frac{1}{2^2} \cdot 2^2 + \frac{1}{2^3} \cdot 2^3 + \dots = 1 + 1 + 1 + \dots = \infty.$$

 즉, 이 게임을 위해서 사람들은 가지고 있는 모든 돈이라도 지불해야 마땅해 보이지만 이 게임에 큰 금액을 지불할 의향이 있는 사람은 없을 것이다. 왜냐하면 사람은 재화의 절대적인 양이 아닌 재화로부터 얻게 되는 효용을 바탕으로 판단을 내리기 때문이다.

Expected Utility

 한계 효용이 체감한다고 생각하면 해당 역설의 실마리를 알 수 있다. 다음과 같은 체감하는 효용함수가 있다고 하자.

$$u(w) = \ln(w).$$

 이제 기댓값을 구해보면

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \ln 2^n = \ln 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$$

 $\frac{n}{2^n}$의 계산은 미분을 한 뒤 대입하여 계산한다.

$$\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x} \\ \\ &\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=1}^{\infty} x^n \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{1-x} \right) \\ &\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1 \cdot (1-x) - x \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} \\ \\ &\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \\ \\ &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{1/2}{(1 - 1/2)^2} = 2 \end{aligned}$$

 위 계산식을 통해 기대효용은 $\ln4$임을 알 수 있고, 사람들은 $4정도를 위 게임의 참가비용으로 쓸 의향이 있다는 것을 알 수 있다.